Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038754

Шаг 1. Узнаём знакомую конструкцию. Для любых чисел $a$ и $b$ верно тождество $$\dfrac{1}{2}\big(| a-b |+a+b\big)=\max(a;b),$$ то есть полусумма модуля разности и суммы даёт большее из двух чисел. Проверить легко: если $a\geq b$, то $| a-b |=a-b$ и выражение равно $\dfrac{(a-b)+(a+b)}{2}=a$; если $a</p><p>У нас$a=\dfrac{x}{6}$,$b=\dfrac{6}{x}$, поэтому$$y=\max\left(\dfrac{x}{6};\dfrac{6}{x}\right),\qquad x\neq 0.$$Значит нужно начертить в одних осях прямую$y=\dfrac{x}{6}$и гиперболу$y=\dfrac{6}{x}$и оставить ту линию, которая в каждой точке идёт <b>выше</b>.</p><p><b>Шаг 2. Находим точки, где линии меняются местами.</b> Решаем$\dfrac{x}{6}=\dfrac{6}{x}$, то есть$x^{2}=36$, откуда$x=6$или$x=-6$. Ординаты: при$x=6$получаем$y=1$, при$x=-6$получаем$y=-1$. Это «углы» будущего графика:$(6;1)$и$(-6;-1)$.</p><p><b>Шаг 3. Собираем график справа от нуля.</b> Возьмём пробную точку$x=2$:$\dfrac{x}{6}=\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{6}{x}=3$— выше гипербола. Возьмём$x=12$:$\dfrac{x}{6}=2$,$\dfrac{6}{x}=0,5$— выше прямая. Значит при$0

Шаг 4. Собираем график слева от нуля. Возьмём $x=-2$: $\dfrac{x}{6}=-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{6}{x}=-3$ — выше прямая. Возьмём $x=-12$: $\dfrac{x}{6}=-2$, $\dfrac{6}{x}=-0,5$ — выше гипербола. Значит при $-6</p><p><b>Шаг 5. Считаем общие точки с прямой$y=m$.</b></p><ul><li>$m<-1$: график туда не заходит —$0$точек;</li><li>$m=-1$: только угол$(-6;-1)$—$1$точка;</li><li>$-1

Ровно одна общая точка получается при $m=-1$ и при $m=1$. Заметим: числа $6$ в формуле на ответ не влияют — важны только высоты углов.