Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038748

Упростим дробь. Знаменатель раскладывается: $x^{2}+5x=x(x+5)$, поэтому $$\dfrac{x+5}{x^{2}+5x}=\dfrac{x+5}{x(x+5)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение возможно только там, где исходное выражение имеет смысл, а знаменатель обращается в ноль при $x=0$ и при $x=-5$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq -5$.

Итак, $y=3-\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$ и $x\neq -5$. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, поднятая на $3$ вверх: горизонтальная асимптота — прямая $y=3$, вертикальная — прямая $x=0$.

Первое «недостижимое» значение. Уровень $y=3$ график не принимает никогда: равенство $3-\dfrac{1}{x}=3$ означало бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого $x$ не существует.

Второе — выколотая точка. При $x=-5$ формула дала бы $y=3-\dfrac{1}{-5}=3+0,2=3,2$. Но $x=-5$ запрещён, значит точка $(-5;3,2)$ на графике выколота.

Проверим, что значение $3,2$ больше нигде не встречается. Уравнение $3-\dfrac{1}{x}=m$ при $m\neq 3$ равносильно $\dfrac{1}{x}=3-m$, откуда $x=\dfrac{1}{3-m}$ — корень единственный. При $m=3,2$ это как раз $x=\dfrac{1}{-0,2}=-5$, то есть единственный кандидат и был выколот.

Итог: прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=3$ (это асимптота) и при $m=3,2$ (проходит через выколотую точку).