Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038747

Упростим формулу. Вынесем $x$ в знаменателе: $9x^{2}+x=x(9x+1)$, тогда $$y=\dfrac{9x+1}{x(9x+1)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращать можно только там, где исходная дробь определена, а знаменатель $x(9x+1)$ равен нулю при $x=0$ и при $9x+1=0$, то есть при $x=-\dfrac{1}{9}$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq -\dfrac{1}{9}$.

Итак, график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой. Её ордината: $y=\dfrac{1}{-1/9}=-9$. Выколота точка $\left(-\dfrac{1}{9};-9\right)$ — она лежит на левой ветви, близко к вертикальной асимптоте, поэтому «улетела» далеко вниз.

Прямые $y=kx$. Все они проходят через начало координат. Ищем пересечения: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k=0$ получается неверное равенство $0=1$; при $k<0$ правая часть отрицательна, а квадрат отрицательным не бывает. Значит при $k\leq 0$ общих точек нет вовсе. При $k>0$ корней ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, они лежат на разных ветвях.

Одна общая точка получится только тогда, когда один из этих двух корней окажется выколотым. Подставим координаты дырки в уравнение прямой: $$-9=k\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)\ \Rightarrow\ k=9\cdot 9=81.$$

Проверка: при $k=81$ получаем $x^{2}=\dfrac{1}{81}$, откуда $x=-\dfrac{1}{9}$ (эта точка выколота) и $x=\dfrac{1}{9}$. Остаётся ровно одна общая точка $\left(\dfrac{1}{9};9\right)$.