Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00045894

В формуле стоит модуль, поэтому график будет склеен из кусков: модуль раскрывается по-разному в зависимости от знака выражения под ним. С этого и начнём. Сразу заметим: из-за дроби $\dfrac8x$ значение $x=0$ запрещено.

Под модулем стоит $x^2-\dfrac8x$. Приведём к общему знаменателю: $x^2-\dfrac8x=\dfrac{x^3-8}{x}$. Числитель равен нулю при $x^3=8$, то есть при $x=2$; знаменатель — при $x=0$.

Определим знак дроби $\dfrac{x^3-8}{x}$. При $x\gt 2$ числитель и знаменатель положительны — дробь положительна. При $0\lt x\lt 2$ числитель отрицателен (ведь $x^3\lt 8$), знаменатель положителен — дробь отрицательна. При $x\lt 0$ и числитель, и знаменатель отрицательны — дробь положительна.

Случай 1: $x\lt 0$ или $x\ge 2$. Выражение под модулем неотрицательно, модуль просто снимаем:

$$y=x^2+\dfrac8x-x^2+\dfrac8x-2=\dfrac{16}{x}-2.$$

Случай 2: $0\lt x\lt 2$. Выражение под модулем отрицательно, поэтому $\left|x^2-\dfrac8x\right|=-x^2+\dfrac8x$, а минус перед модулем даёт $+x^2-\dfrac8x$:

$$y=x^2+\dfrac8x+x^2-\dfrac8x-2=2x^2-2.$$

Построим каждый кусок. Формула $y=\dfrac{16}{x}-2$ — это гипербола $y=\dfrac{16}{x}$, опущенная на $2$ вниз. Прямая $y=-2$ — её асимптота: ветви подходят к ней сколь угодно близко, но никогда её не достигают.

Левая ветвь, $x\lt 0$: при $x=-8$ $y=-2-2=-4$, при $x=-2$ $y=-8-2=-10$. Вся ветвь лежит ниже асимптоты, её значения $y\lt -2$.

Правая ветвь, $x\ge 2$: при $x=2$ $y=8-2=6$, точка $(2;6)$ закрашена; при $x=4$ $y=2$; при $x=8$ $y=0$; при $x=16$ $y=-1$. Ветвь опускается от высоты $6$ к асимптоте, её значения $-2\lt y\le 6$.

Кусок параболы $y=2x^2-2$ при $0\lt x\lt 2$: при $x=1$ $y=0$; когда $x$ приближается к $0$, значения подходят к $-2$, но точка $(0;-2)$ выколота; при $x=2$ было бы $2\cdot4-2=6$ — это та же точка $(2;6)$, что и у гиперболы, поэтому здесь график не рвётся. На своём куске парабола растёт, её значения $-2\lt y\lt 6$.

Двигаем горизонталь $y=m$:

при $m\lt -2$ — одна точка на левой ветви гиперболы;

при $m=-2$ — ни одной: левая ветвь ниже асимптоты, правая выше, а точка параболы $(0;-2)$ выколота;

при $-2\lt m\lt 6$ — одна точка на куске параболы и одна на правой ветви: две точки;

при $m=6$ — только точка $(2;6)$: одна;

при $m\gt 6$ — ни одной.

Ровно две общие точки получаются при $-2\lt m\lt 6$.

Проверим себя на уровне $m=0$. На куске параболы $2x^2-2=0$, $x=1$ — лежит в промежутке $(0;2)$. На правой ветви $\dfrac{16}{x}-2=0$, $x=8\ge 2$ — подходит. Левая ветвь целиком ниже $-2$, точки там нет. Две точки, как и должно быть.