Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038752

Шаг 1. Упрощаем формулу. В знаменателе вынесем $x$ за скобки: $7x^{2}-6x=x(7x-6)$. Тогда $$y=\dfrac{7x-6}{x(7x-6)}.$$ Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x\neq 0$ и $7x-6\neq 0$, значит $x\neq \dfrac{6}{7}$. При этих условиях множитель $7x-6$ сокращается, и остаётся $y=\dfrac{1}{x}$.

Шаг 2. Строим график. Это обычная гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с двумя ветвями (в первой и в третьей четвертях), но из неё выколота точка с абсциссой $x=\dfrac{6}{7}$. Её ордината равна $y=\dfrac{1}{6/7}=\dfrac{7}{6}$, то есть на графике «дырка» в точке $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{7}{6}\right)$. Точка $x=0$ и так не входит в область определения гиперболы.

Шаг 3. Пересекаем с прямой $y=kx$. Все такие прямые проходят через начало координат. Приравниваем: $$\dfrac{1}{x}=kx\ \Longrightarrow\ kx^{2}=1.$$

• если $k=0$, уравнение $0=1$ решений не имеет — прямая $y=0$ (ось $Ox$) гиперболу не пересекает;
• если $k<0$, то $kx^{2}\leq 0$ и равенство $kx^{2}=1$ тоже невозможно — общих точек нет;
• если $k>0$, то $x^{2}=\dfrac{1}{k}$ и корней ровно два: $x=\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ и $x=-\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ — по одной точке на каждой ветви гиперболы.

Шаг 4. Когда точек остаётся ровно одна. Раз при $k>0$ точек всегда две, единственный способ получить одну — чтобы одна из них попала как раз в выколотую точку и «пропала». Отрицательный корень $-\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ никогда не равен положительному числу $\dfrac{6}{7}$, поэтому подходит только $$\dfrac{1}{\sqrt{k}}=\dfrac{6}{7}\ \Longrightarrow\ \sqrt{k}=\dfrac{7}{6}\ \Longrightarrow\ k=\dfrac{49}{36}.$$ Проверим: при $k=\dfrac{49}{36}$ прямая проходит через точку $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{7}{6}\right)$, которой на графике нет, и через точку $\left(-\dfrac{6}{7};-\dfrac{7}{6}\right)$, которая есть. Значит общая точка ровно одна.