Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00045893

Функция задана тремя формулами, и все они линейные — значит, график состоит из кусков прямых. Для куска прямой достаточно знать высоты на его концах. Найдём их, нарисуем график и посчитаем пересечения с горизонтальными прямыми $y=m$.

Левый луч $y=x+1$ при $x\le 1$. При $x=1$ получаем $y=2$, точка $(1;2)$ закрашена (неравенство нестрогое). При $x=-1$ $y=0$. Луч поднимается слева направо и принимает все значения $y\le 2$.

Средний кусок $y=-0{,}5x+2{,}5$ при $1\lt x\lt 5$. При $x=1$: $-0{,}5+2{,}5=2$; при $x=5$: $-2{,}5+2{,}5=0$. Оба конца этому куску не принадлежат, ведь неравенства строгие.

Левый конец $(1;2)$ всё равно есть на графике — его даёт левый луч. А правый конец $(5;0)$ выколот. Кусок убывает и принимает значения $0\lt y\lt 2$.

Правый луч $y=1{,}5x-6{,}5$ при $x\ge 5$. При $x=5$: $7{,}5-6{,}5=1$, точка $(5;1)$ закрашена. При $x=7$: $10{,}5-6{,}5=4$. Луч поднимается и принимает все значения $y\ge 1$.

Картина такая: левый луч поднимается до точки $(1;2)$, от неё отрезок спускается к выколотой точке $(5;0)$, а из закрашенной точки $(5;1)$ вверх уходит правый луч. В точке $x=5$ у графика разрыв: с высоты $0$ он перескакивает на высоту $1$.

Двигаем горизонталь $y=m$ и считаем точки на каждом куске:

при $m\le 0$ — только левый луч: $1$ точка (на высоте $0$ средний кусок точки не даёт, ведь $(5;0)$ выколота);

при $0\lt m\lt 1$ — левый луч и средний кусок: $2$ точки;

при $1\le m\lt 2$ — все три куска: $3$ точки;

при $m=2$ — левый луч (точка $(1;2)$) и правый луч (из $1{,}5x-6{,}5=2$ получаем $x=\dfrac{8{,}5}{1{,}5}=\dfrac{17}{3}$, это больше $5$): $2$ точки;

при $m\gt 2$ — только правый луч: $1$ точка.

Ровно две общие точки получаются при $0\lt m\lt 1$ и при $m=2$.

Проверим себя на уровне $m=0{,}5$. Левый луч: $x+1=0{,}5$, $x=-0{,}5\le 1$ — подходит. Средний кусок: $-0{,}5x+2{,}5=0{,}5$, $x=4$, и $1\lt 4\lt 5$ — подходит. Правый луч: $1{,}5x-6{,}5=0{,}5$, $x=\dfrac{14}{3}\approx4{,}67$, это меньше $5$ — не подходит. Две точки, всё сходится.