Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00045887

Функция задана двумя формулами: при $x\leqslant 2$ — линейной, при $x\gt 2$ — квадратичной. Построим оба куска и посмотрим, сколько раз их пересекает горизонтальная прямая $y=m$ на разных высотах.

Квадратичный кусок. Вынесем минус: $-x^{2}+8x-16=-(x^{2}-8x+16)=-(x-4)^{2}$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(4;\ 0)$.

Она берётся при $x\gt 2$. При $x=2$ значение было бы $-(2-4)^{2}=-4$, но точка $(2;\ -4)$ выколота: неравенство строгое. Вершина $x=4$ лежит правее $2$, поэтому на графике есть и восходящая часть параболы (от $x=2$ до $x=4$), и нисходящая (правее $4$). Контрольные точки: при $x=3$ и при $x=5$ $y=-1$; при $x=6$ $y=-4$.

Линейный кусок $y=-0{,}5x-1$ при $x\leqslant 2$. При $x=2$: $y=-0{,}5\cdot 2-1=-2$, точка $(2;\ -2)$ закрашена. При $x=0$: $y=-1$; при $x=-2$: $y=0$. Угловой коэффициент отрицательный, поэтому при движении влево луч поднимается. Он принимает все значения $y\geqslant -2$, каждое по одному разу.

Кусок параболы принимает значение $0$ один раз (вершина); значения между $-4$ и $0$ — дважды, на восходящей и на нисходящей частях; значения $y\leqslant -4$ — один раз, только справа (слева точка $(2;\ -4)$ выколота); значений больше $0$ — ни одного.

Складываем точки на луче и на параболе:

$m\gt 0$: луч — $1$, парабола — $0$; всего $1$.

$m=0$: луч — $1$ (точка $(-2;\ 0)$), парабола — $1$ (вершина); всего $2$.

$-2\leqslant m\lt 0$: луч — $1$, парабола — $2$; всего $3$.

$-4\lt m\lt -2$: луч — $0$, парабола — $2$; всего $2$.

$m\leqslant -4$: луч — $0$, парабола — $1$; всего $1$.

Ровно две общие точки — при $m=0$ и при $-4\lt m\lt -2$.

Проверим себя на уровне $m=-3$. Луч: $-0{,}5x-1=-3$ даёт $x=4$, но луч существует только при $x\leqslant 2$ — точки нет. Парабола: $(x-4)^{2}=3$, $x=4\pm\sqrt{3}$, то есть $x\approx 2{,}27$ и $x\approx 5{,}73$ — оба больше $2$. Две точки, как и должно быть.