Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00045886

График состоит из двух кусков: при $x\leqslant 4$ — прямая, при $x\gt 4$ — парабола. Построим каждый кусок, а потом будем двигать горизонтальную прямую $y=m$ и считать общие точки.

Правый кусок. Заметим, что $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ — это квадрат разности. Значит, здесь парабола $y=(x-5)^{2}$ ветвями вверх с вершиной в точке $(5;\ 0)$.

Берём её только при $x\gt 4$. При $x=4$ было бы $y=(4-5)^{2}=1$, но неравенство строгое, поэтому точка $(4;\ 1)$ выколота. Ещё контрольные точки: при $x=6$ $y=1$; при $x=7$ $y=4$.

Левый кусок — прямая $y=1{,}5x-3$ при $x\leqslant 4$. При $x=4$: $y=1{,}5\cdot 4-3=6-3=3$, точка $(4;\ 3)$ закрашена. При $x=2$: $y=0$; при $x=0$: $y=-3$. Угловой коэффициент $1{,}5$ положителен, поэтому влево луч уходит вниз, а его наивысшая точка — $(4;\ 3)$.

Итак, луч принимает все значения $y\leqslant 3$, каждое ровно один раз. Кусок параболы принимает значение $0$ один раз (в вершине), значения между $0$ и $1$ — дважды (слева и справа от вершины), а значения $y\geqslant 1$ — один раз: только на правой ветви, ведь точка $(4;\ 1)$ выколота.

Теперь считаем общие точки с прямой $y=m$, складывая точки на луче и на параболе:

$m\lt 0$: луч — $1$, парабола — $0$; всего $1$.

$m=0$: луч — $1$ (точка $(2;\ 0)$), парабола — $1$ (вершина); всего $2$.

$0\lt m\lt 1$: луч — $1$, парабола — $2$; всего $3$.

$1\leqslant m\leqslant 3$: луч — $1$, парабола — $1$; всего $2$.

$m\gt 3$: луч — $0$, парабола — $1$; всего $1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=0$ и при $1\leqslant m\leqslant 3$.

Проверим себя на границе $m=1$. Луч: $1{,}5x-3=1$, $x=\dfrac{8}{3}$, это не больше $4$ — точка есть. Парабола: $(x-5)^{2}=1$, $x=4$ или $x=6$; но $x=4$ не подходит, потому что нужно $x\gt 4$, остаётся $x=6$. Всего две точки — значит, $m=1$ в ответ входит верно.