Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038751

Функция кусочная, граница между кусками — вертикаль $x=4$.

Правый кусок, $x\geq 4$: парабола $y=x^{2}-10x+27$. Старший коэффициент положительный, ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2}=5$, $y_0=5^{2}-10\cdot 5+27=25-50+27=2$. Точка $(5;2)$ лежит в области $x\geq 4$, значит «дно» у графика есть. Левый край куска: при $x=4$ получаем $y=16-40+27=3$, точка $(4;3)$ принадлежит графику и рисуется закрашенной. Кусок идёт из $(4;3)$ вниз к вершине $(5;2)$, затем неограниченно вверх.

Левый кусок, $x\lt 4$: прямая $y=x$. Это биссектриса первого и третьего координатных углов, но взята только её часть левее $x=4$. При $x=4$ формула дала бы $y=4$, но это значение $x$ куску не принадлежит, поэтому $(4;4)$ — выколотая точка. При $x\lt 4$ значения $y=x$ пробегают все числа, меньшие $4$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с горизонталью $y=m$.

С лучом $y=x$: одна точка при $m\lt 4$, ни одной при $m\geq 4$.

С куском параболы решаем $x^{2}-10x+27=m$, то есть $x^{2}-10x+(27-m)=0$; выделим квадрат: $(x-5)^{2}=m-2$, откуда $x=5\pm\sqrt{m-2}$. Корни есть при $m\geq 2$. Условию $x\geq 4$ меньший корень $5-\sqrt{m-2}$ удовлетворяет только при $\sqrt{m-2}\leq 1$, то есть при $m\leq 3$. Получаем: $m\lt 2$ — точек нет, $m=2$ — одна, $2\lt m\leq 3$ — две, $m\gt 3$ — одна.

• $m\lt 2$: $0+1=1$ точка;
• $m=2$: $1+1=2$ точки;
• $2\lt m\leq 3$: $2+1=3$ точки;
• $3\lt m\lt 4$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 4$: $1+0=1$ точка.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=2$ (проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $3$ и $4$ — то есть между уровнем закрашенного конца параболы и уровнем выколотой точки прямой.