Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00045892

График состоит из трёх кусков, и каждый кусок — часть прямой. Поэтому план простой: найти концы каждого куска, нарисовать их, а потом двигать горизонтальную прямую $y=m$ и считать, сколько раз она пересекает рисунок.

Первый кусок: $y=x-1$ при $x\le 5$. Это луч. Его правый конец: при $x=5$ получаем $y=5-1=4$, точка $(5;4)$ закрашена, потому что неравенство $x\le 5$ нестрогое. Для построения возьмём ещё одну точку: при $x=1$ $y=0$. Луч идёт от $(5;4)$ влево вниз и принимает все значения $y\le 4$.

Второй кусок: $y=-1{,}5x+11{,}5$ при $5\lt x\lt 6$. Это отрезок прямой. Найдём высоты его концов: при $x=5$ получаем $-1{,}5\cdot5+11{,}5=-7{,}5+11{,}5=4$, при $x=6$ получаем $-1{,}5\cdot6+11{,}5=-9+11{,}5=2{,}5$. Оба неравенства строгие, поэтому концы $(5;4)$ и $(6;2{,}5)$ этому куску не принадлежат.

Но точку $(5;4)$ уже даёт первый луч, так что там график не рвётся. А точка $(6;2{,}5)$ остаётся выколотой. На этом отрезке функция убывает и принимает значения $2{,}5\lt y\lt 4$.

Третий кусок: $y=0{,}5x-4$ при $x\ge 6$. Это луч. Его начало: при $x=6$ $y=0{,}5\cdot6-4=3-4=-1$, точка $(6;-1)$ закрашена. Ещё точка: при $x=10$ $y=5-4=1$. Луч идёт вверх вправо и принимает все значения $y\ge -1$.

Итак, на рисунке: луч поднимается к закрашенной точке $(5;4)$; от неё отрезок спускается к выколотой точке $(6;2{,}5)$; ниже, из закрашенной точки $(6;-1)$, вверх уходит третий луч.

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх. Первый кусок даёт точку при $m\le 4$, второй — при $2{,}5\lt m\lt 4$, третий — при $m\ge -1$. Складываем:

при $m\lt -1$ — только первый кусок: $1$ точка;

при $-1\le m\le 2{,}5$ — первый и третий куски: $2$ точки (второй кусок не даёт точки даже при $m=2{,}5$, ведь его конец выколот);

при $2{,}5\lt m\lt 4$ — все три куска: $3$ точки;

при $m=4$ — первый кусок (точка $(5;4)$) и третий (из $0{,}5x-4=4$ получаем $x=16$): $2$ точки;

при $m\gt 4$ — только третий кусок: $1$ точка.

Ровно две общие точки получаются при $-1\le m\le 2{,}5$ и при $m=4$.

Проверим себя на уровне $m=2{,}5$. Первый кусок: $x-1=2{,}5$, $x=3{,}5\le 5$ — подходит. Второй: $-1{,}5x+11{,}5=2{,}5$ даёт $x=6$, но $x=6$ во второй кусок не входит. Третий: $0{,}5x-4=2{,}5$, $x=13\ge 6$ — подходит. Две точки, как и должно быть.