Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00039049

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=-2$: справа парабола, слева ветвь гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -2$: $y=x^{2}+2$. Это парабола $y=x^{2}$, поднятая на $2$ вверх; её вершина — точка $(0;2)$, и она попадает в область $x\geq -2$. Начало куска: при $x=-2$ получаем $y=4+2=6$, точка $(-2;6)$ закрашена. Кусок спускается от $(-2;6)$ к вершине $(0;2)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -2$: $y=-\dfrac{6}{x}$. При отрицательных $x$ эта дробь положительна. При $x=-2$ формула дала бы $y=-\dfrac{6}{-2}=3$, но $x=-2$ этому куску не принадлежит: точка $(-2;3)$ выколота. При движении влево значение убывает: при $x=-3$ выходит $2$, при $x=-6$ уже $1$, и дальше стремится к нулю, не достигая его. Значит кусок покрывает промежуток $0\lt y\lt 3$, каждое значение ровно один раз.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $x^{2}+2=m$, то есть $x^{2}=m-2$. При $m\lt 2$ корней нет; при $m\geq 2$ получаем $x=\pm\sqrt{m-2}$. Условию $x\geq -2$ отрицательный корень $-\sqrt{m-2}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{m-2}\leq 2$, то есть при $m\leq 6$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 2$, одну при $m=2$ (вершина), две при $2\lt m\leq 6$, одну при $m\gt 6$.

• $m\leq 0$: $0+0=0$ точек;
• $0\lt m\lt 2$: $0+1=1$ точка — работает только ветвь гиперболы;
• $m=2$: $1+1=2$ точки;
• $2\lt m\lt 3$: $2+1=3$ точки;
• $3\leq m\leq 6$: $2+0=2$ точки (на уровне $3$ точка гиперболы выколота);
• $m\gt 6$: $1+0=1$ точка.

Ровно одна общая точка получается при $0\lt m\lt 2$ и при $m\gt 6$.