Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00039048

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=-1$: справа парабола, слева ветвь гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -1$: $y=x^{2}+1$. Это обычная парабола $y=x^{2}$, поднятая на $1$ вверх; её вершина — точка $(0;1)$, и она попадает в область $x\geq -1$. Начало куска: при $x=-1$ получаем $y=1+1=2$, точка $(-1;2)$ закрашена. Значит кусок спускается от $(-1;2)$ к вершине $(0;1)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -1$: $y=-\dfrac{4}{x}$. При отрицательных $x$ эта дробь положительна. При $x=-1$ формула дала бы $y=-\dfrac{4}{-1}=4$, но $x=-1$ этому куску не принадлежит: точка $(-1;4)$ выколота. При движении влево значение убывает: при $x=-2$ получаем $2$, при $x=-4$ уже $1$, и дальше стремится к нулю, не достигая его. Значит кусок покрывает промежуток $0\lt y\lt 4$, каждое значение ровно один раз.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $x^{2}+1=m$, то есть $x^{2}=m-1$. При $m\lt 1$ корней нет; при $m\geq 1$ получаем $x=\pm\sqrt{m-1}$. Условию $x\geq -1$ отрицательный корень $-\sqrt{m-1}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{m-1}\leq 1$, то есть при $m\leq 2$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 1$, одну при $m=1$ (вершина), две при $1\lt m\leq 2$, одну при $m\gt 2$.

• $m\leq 0$: $0+0=0$ точек;
• $0\lt m\lt 1$: $0+1=1$ точка — работает только ветвь гиперболы;
• $m=1$: $1+1=2$ точки;
• $1\lt m\leq 2$: $2+1=3$ точки;
• $2\lt m\lt 4$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 4$: $1+0=1$ точка (на уровне $4$ точка гиперболы выколота).

Ровно одна общая точка получается при $0\lt m\lt 1$ и при всех $m\geq 4$.