Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00044067

График состоит из двух кусков: парабола при $x\ge -4$ и гипербола при $x\lt -4$. Построим каждый.

Парабола $y=x^{2}+4x+6$. Выделим полный квадрат: $x^{2}+4x+6=(x^{2}+4x+4)+2=(x+2)^{2}+2$. Вершина $(-2;\ 2)$, ветви вверх, и вершина лежит в области $x\ge -4$.

Левый конец: при $x=-4$ получаем $(-4+2)^{2}+2=4+2=6$. Точка $(-4;\ 6)$ закрашена, ведь $x\ge -4$. На отрезке от $-4$ до $-2$ парабола опускается от $6$ до $2$, а правее $-2$ поднимается неограниченно.

Гипербола $y=-\dfrac{36}{x}$ при $x\lt -4$. Здесь $x$ отрицательный, поэтому $y\gt 0$. Если $x$ подходит к $-4$, то $y$ подходит к $-\dfrac{36}{-4}=9$, но точка $(-4;\ 9)$ выколота. При движении влево гипербола опускается к оси $Ox$, не касаясь её. Итак, гипербола принимает каждое значение из промежутка $(0;\ 9)$ ровно один раз.

На стыке $x=-4$ график рвётся: парабола заканчивается на высоте $6$, гипербола — на высоте $9$.

Теперь двигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем общие точки.

Парабола: при $m\lt 2$ точек нет; при $m=2$ одна (вершина); при $2\lt m\le 6$ две — обе ветви ещё есть; при $m\gt 6$ одна — левая ветвь обрезана на высоте $6$.

Гипербола: одна точка при $0\lt m\lt 9$, иначе ни одной.

Складываем: при $m\le 0$ — $0$ точек; при $0\lt m\lt 2$ — $0+1=1$; при $m=2$ — $1+1=2$; при $2\lt m\le 6$ — $2+1=3$; при $6\lt m\lt 9$ — $1+1=2$; при $m\ge 9$ — $1+0=1$.

Ровно одна общая точка: $0\lt m\lt 2$ и $m\ge 9$.

Проверим себя на $m=9$: гипербола до высоты $9$ не дотягивается (точка $(-4;\ 9)$ выколота), а парабола даёт одну точку: $(x+2)^{2}=7$, $x=-2+\sqrt{7}\approx 0{,}65$ (второй корень $-2-\sqrt{7}\approx -4{,}65$ меньше $-4$ и не годится). Действительно одна.