Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00044065

График состоит из трёх кусков: две части гиперболы $y=\dfrac{3}{x}$ — левая при $x\le -0{,}5$ и правая при $x\ge 2$ — и отрезок прямой $y=3x-3$ между ними, при $-0{,}5\lt x\lt 2$.

Найдём концы кусков. Гипербола: при $x=-0{,}5$ получаем $y=\dfrac{3}{-0{,}5}=-6$, при $x=2$ получаем $y=\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Точки $(-0{,}5;\ -6)$ и $(2;\ 1{,}5)$ закрашены — неравенства в условии нестрогие.

Прямая: при $x=-0{,}5$ получаем $y=3\cdot(-0{,}5)-3=-4{,}5$, при $x=2$ — $y=3\cdot 2-3=3$. Точки $(-0{,}5;\ -4{,}5)$ и $(2;\ 3)$ выколоты — неравенства строгие. Значит, на обоих стыках график рвётся.

Строим: левая ветвь гиперболы идёт от закрашенной точки $(-0{,}5;\ -6)$ влево и вверх, прижимаясь к оси $Ox$ снизу; отрезок соединяет выколотые точки $(-0{,}5;\ -4{,}5)$ и $(2;\ 3)$; правая ветвь идёт от закрашенной точки $(2;\ 1{,}5)$ вправо и вниз, прижимаясь к оси $Ox$ сверху.

Прямая $y=kx$ всегда проходит через начало координат, а число $k$ задаёт её наклон. Посчитаем, сколько общих точек даёт каждый кусок.

Гипербола. $kx=\dfrac{3}{x}$, то есть $x^{2}=\dfrac{3}{k}$. При $k\le 0$ решений нет. При $k\gt 0$ корни $x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{k}}$.

Левая часть: нужно $-\sqrt{\dfrac{3}{k}}\le -0{,}5$, то есть $\dfrac{3}{k}\ge 0{,}25$, откуда $k\le 12$. Правая часть: нужно $\sqrt{\dfrac{3}{k}}\ge 2$, то есть $\dfrac{3}{k}\ge 4$, откуда $k\le 0{,}75$.

Эти границы видны и на рисунке: $k=12$ — наклон прямой через точку $(-0{,}5;\ -6)$, ведь $\dfrac{-6}{-0{,}5}=12$; $k=0{,}75$ — наклон прямой через $(2;\ 1{,}5)$: $\dfrac{1{,}5}{2}=0{,}75$.

Отрезок. $kx=3x-3$, то есть $(3-k)x=3$. При $k=3$ решений нет — прямая параллельна отрезку. Иначе $x=\dfrac{3}{3-k}$, и нужно $-0{,}5\lt x\lt 2$.

Если $k\lt 3$, то $x\gt 0$, и условие $x\lt 2$ даёт $3\lt 2(3-k)$, то есть $k\lt 1{,}5$. Если $k\gt 3$, то $x\lt 0$, и условие $x\gt -0{,}5$ после умножения на отрицательное $3-k$ даёт $3\lt 0{,}5(k-3)$, то есть $k\gt 9$.

Границы и здесь видны на рисунке: $k=1{,}5$ — наклон прямой через выколотую точку $(2;\ 3)$, $k=9$ — через выколотую точку $(-0{,}5;\ -4{,}5)$: $\dfrac{-4{,}5}{-0{,}5}=9$.

Складываем.

При $k\le 0$: гипербола $0$, отрезок $1$ — всего одна точка.

При $0\lt k\le 0{,}75$: гипербола $2$, отрезок $1$ — три точки.

При $0{,}75\lt k\lt 1{,}5$: гипербола $1$, отрезок $1$ — две точки.

При $1{,}5\le k\le 9$: гипербола $1$, отрезок $0$ — одна точка.

При $9\lt k\le 12$: гипербола $1$, отрезок $1$ — две точки.

При $k\gt 12$: гипербола $0$, отрезок $1$ — одна точка.

Ровно одна общая точка получается при $k\le 0$, при $1{,}5\le k\le 9$ и при $k\gt 12$.

Проверим себя на $k=20$: прямая $y=20x$ пересекает отрезок при $x=\dfrac{3}{3-20}=-\dfrac{3}{17}\approx -0{,}18$ — это внутри промежутка. С гиперболой: $x^{2}=\dfrac{3}{20}=0{,}15$, $x\approx\pm 0{,}39$ — ни $x\le -0{,}5$, ни $x\ge 2$ не выполняется. Итого одна точка, так что значения $k\gt 12$ действительно входят в ответ.