Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00045891

Чтобы построить график с модулем, раскроем модуль по-разному слева и справа от точки, где выражение под ним равно нулю: $6x+1=0$ при $x=-\dfrac{1}{6}$.

Справа, при $x\geqslant -\dfrac{1}{6}$, выражение $6x+1$ неотрицательно и $|6x+1|=6x+1$:

$$y=-x^{2}+6x+1=-(x^{2}-6x+9)+9+1=-(x-3)^{2}+10.$$

Это парабола ветвями вниз с вершиной $(3;\ 10)$; $x=3$ лежит правее $-\dfrac{1}{6}$, так что вершина на графике есть.

Слева, при $x\lt -\dfrac{1}{6}$, $|6x+1|=-(6x+1)=-6x-1$ — меняем знак у обоих слагаемых:

$$y=-x^{2}-6x-1=-(x^{2}+6x+9)+9-1=-(x+3)^{2}+8.$$

Парабола ветвями вниз с вершиной $(-3;\ 8)$; $x=-3$ левее $-\dfrac{1}{6}$, вершина тоже на графике.

Стык кусков: при $x=-\dfrac{1}{6}$ модуль равен нулю, и $y=-\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{2}=-\dfrac{1}{36}$. Обе формулы дают это же значение, график непрерывен. Итак, график — два «горба» высотой $8$ (левый) и $10$ (правый) с изломом между ними в точке $\left(-\dfrac{1}{6};\ -\dfrac{1}{36}\right)$; по краям ветви уходят вниз.

Считаем общие точки с горизонталью $y=m$:

$m\gt 10$: точек нет.

$m=10$: $1$ точка — вершина правого горба.

$8\lt m\lt 10$: $2$ точки на правом горбе.

$m=8$: $2$ точки на правом горбе и вершина левого; всего $3$.

$-\dfrac{1}{36}\lt m\lt 8$: по $2$ точки на каждом горбе; всего $4$.

$m=-\dfrac{1}{36}$: сама точка излома и по одной точке на внешних склонах; всего $3$.

$m\lt -\dfrac{1}{36}$: по одной точке на внешних склонах; всего $2$.

Ровно три общие точки — при $m=8$ и при $m=-\dfrac{1}{36}$.

Проверим уровень излома подробно. Справа: $(x-3)^{2}=10+\dfrac{1}{36}=\dfrac{361}{36}$, $x=3\pm\dfrac{19}{6}$, то есть $x=\dfrac{37}{6}$ или $x=-\dfrac{1}{6}$ (это и есть излом). Слева: $(x+3)^{2}=8+\dfrac{1}{36}=\dfrac{289}{36}$, $x=-3\pm\dfrac{17}{6}$, то есть $x=-\dfrac{1}{6}$ (та же точка излома; она относится к правому куску) или $x=-\dfrac{35}{6}$. Различных точек три — сходится.