Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00044071

Формула $y=x^{2}-3|x|-x$ содержит модуль, поэтому разберём два случая по знаку $x$. Из-за слагаемого $-x$ функция не чётная, и график не симметричен относительно оси $Oy$ — каждую половину строим отдельно.

При $x\ge 0$: $|x|=x$, и $y=x^{2}-3x-x=x^{2}-4x$. Парабола ветвями вверх, нули $x=0$ и $x=4$, вершина $x_0=2$, $y_0=4-8=-4$.

При $x\lt 0$: $|x|=-x$, и $-3|x|=+3x$, поэтому $y=x^{2}+3x-x=x^{2}+2x$. Нули $x=-2$ и $x=0$, вершина $x_0=-1$, $y_0=1-2=-1$.

Обе вершины лежат в своих промежутках, а половины склеиваются в начале координат. Получаются две «ямки»: левая с дном $(-1;\ -1)$ и правая, более глубокая, с дном $(2;\ -4)$.

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх.

При $m\lt -4$ точек нет.

При $m=-4$ — одна точка (дно правой ямки).

При $-4\lt m\lt -1$ — две точки на правой ямке.

При $m=-1$ — две точки на правой ямке и касание дна левой: три.

При $-1\lt m\lt 0$ — по две точки на каждой ямке: четыре.

При $m=0$ — точки $x=-2$, $x=0$, $x=4$: три (начало координат одно).

При $m\gt 0$ — две точки на внешних ветвях.

Нужно не менее двух и не более трёх точек: $-4\lt m\le -1$ и $m\ge 0$.

Проверим себя на $m=-0{,}5$: при $x\ge 0$ уравнение $x^{2}-4x+0{,}5=0$ имеет $D=16-2=14\gt 0$ и два положительных корня; при $x\lt 0$ уравнение $x^{2}+2x+0{,}5=0$ имеет $D=4-2=2\gt 0$ и два отрицательных корня. Четыре точки — уровень $-0{,}5$ в ответ не входит, всё согласуется.