Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00044066

Сначала упростим функцию. Знаменатель $-2-x$ можно записать как $-(x+2)$, и тогда при $x\ne -2$ скобка $(x+2)$ сокращается:

$$y=\frac{(x^{2}+1)(x+2)}{-(x+2)}=-(x^{2}+1)=-x^{2}-1.$$

При $x=-2$ знаменатель равен нулю, и функция там не определена. Поэтому график — парабола $y=-x^{2}-1$ (ветви вниз, вершина $(0;\ -1)$) с выколотой точкой при $x=-2$: $y=-(-2)^{2}-1=-4-1=-5$, то есть точка $(-2;\ -5)$.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Её общие точки с графиком — это решения уравнения $kx=-x^{2}-1$ при $x\ne -2$, то есть

$$x^{2}+kx+1=0,\qquad x\ne -2.$$

Случай 1: касание. Уравнение имеет ровно один корень, когда дискриминант равен нулю: $D=k^{2}-4=0$, откуда $k=2$ или $k=-2$. Корень $x=-\dfrac{k}{2}$: при $k=2$ это $x=-1$, при $k=-2$ — $x=1$. Ни один из них не равен $-2$, так что точка касания на графике есть.

Случай 2: прямая проходит через выколотую точку. Тогда один из двух корней равен $-2$, и он «пропадает». Подставим $x=-2$: $4-2k+1=0$, откуда $k=2{,}5$. Второй корень найдём по произведению корней: $x_1x_2=1$, значит, $x_2=\dfrac{1}{-2}=-0{,}5$. Это обычная точка параболы, так что общая точка ровно одна: $(-0{,}5;\ -1{,}25)$.

При остальных $k$: если $|k|\lt 2$, то $D\lt 0$ и общих точек нет; если $|k|\gt 2$ и $k\ne 2{,}5$, то корней два и оба на графике.

Ровно одна общая точка: $k=-2$, $k=2$, $k=2{,}5$.

Проверим себя: наклон прямой через выколотую точку $(-2;\ -5)$ равен $\dfrac{-5}{-2}=2{,}5$ — совпало со вторым случаем. А при $k=2{,}5$ во второй точке $y=2{,}5\cdot(-0{,}5)=-1{,}25$ и на параболе $-0{,}25-1=-1{,}25$ — точка действительно общая.