Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00044070

В формуле $y=x^{2}-4|x|-x$ есть модуль, поэтому рассмотрим два случая — по знаку $x$. Слагаемое $-x$ стоит вне модуля и остаётся в обоих случаях.

При $x\ge 0$ модуль равен самому числу: $|x|=x$. Тогда $y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x$. Это парабола ветвями вверх, нули $x=0$ и $x=5$, вершина посередине: $x_0=2{,}5$, $y_0=2{,}5^{2}-5\cdot 2{,}5=6{,}25-12{,}5=-6{,}25$. Вершина лежит в области $x\ge 0$.

При $x\lt 0$ модуль меняет знак: $|x|=-x$. Тогда $y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x$. Нули $x=-3$ и $x=0$, вершина $x_0=-1{,}5$, $y_0=2{,}25-4{,}5=-2{,}25$. Вершина лежит в области $x\lt 0$.

Обе половины проходят через начало координат, так что график непрерывен: слева «ямка» с дном $(-1{,}5;\ -2{,}25)$, справа более глубокая «ямка» с дном $(2{,}5;\ -6{,}25)$.

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и считаем точки.

При $m\lt -6{,}25$ точек нет.

При $m=-6{,}25$ прямая касается дна правой ямки — одна точка.

При $-6{,}25\lt m\lt -2{,}25$ прямая пересекает только правую ямку — две точки.

При $m=-2{,}25$ к ним добавляется касание дна левой ямки — три точки.

При $-2{,}25\lt m\lt 0$ прямая пересекает обе ямки — четыре точки.

При $m=0$ точки $x=-3$, $x=0$ и $x=5$ — три точки (начало координат считаем один раз).

При $m\gt 0$ — по одной точке на левой и правой ветви, всего две.

Нужно от одной до трёх точек включительно: $-6{,}25\le m\le -2{,}25$ и $m\ge 0$.

Проверим себя на $m=-1$: при $x\ge 0$ уравнение $x^{2}-5x+1=0$ имеет $D=21$ и два положительных корня; при $x\lt 0$ уравнение $x^{2}+3x+1=0$ имеет $D=5$ и два отрицательных корня. Четыре точки — уровень $-1$ в ответ не входит, как и должно быть.