Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00044069

Функция $y=|x^{2}+x-2|-2$ строится в три шага: обычная парабола, потом модуль, потом сдвиг вниз на $2$.

Шаг 1. Парабола $y=x^{2}+x-2$. Разложим на множители: $x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$, нули $x=-2$ и $x=1$. Вершина: $x_0=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$, $y_0=(-0{,}5+2)(-0{,}5-1)=1{,}5\cdot(-1{,}5)=-2{,}25$.

Шаг 2. Модуль оставляет на месте всё, что выше оси $Ox$, а кусок между $x=-2$ и $x=1$, лежащий ниже оси, отражает вверх. Получается «горб» с вершиной $(-0{,}5;\ 2{,}25)$, а в точках $(-2;\ 0)$ и $(1;\ 0)$ график касается оси.

Шаг 3. Вычитаем $2$ — весь график опускается на $2$. Нижние точки становятся $(-2;\ -2)$ и $(1;\ -2)$, вершина горба — $(-0{,}5;\ 0{,}25)$.

Модуль не бывает отрицательным, поэтому $y\ge -2$ при всех $x$: ниже уровня $-2$ графика нет.

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх.

При $m\lt -2$ общих точек нет.

При $m=-2$ прямая проходит через две нижние точки — две точки.

При $-2\lt m\lt 0{,}25$ прямая пересекает обе внешние ветви и горб дважды — четыре точки.

При $m=0{,}25$ прямая касается вершины горба и пересекает две внешние ветви — три точки.

При $m\gt 0{,}25$ остаются только две внешние ветви — две точки.

Ровно две общие точки: $m=-2$ и $m\gt 0{,}25$.

Проверим себя на $m=1$: $|x^{2}+x-2|=3$. Уравнение $x^{2}+x-5=0$ имеет $D=1+20=21\gt 0$ — два корня; уравнение $x^{2}+x+1=0$ имеет $D=1-4\lt 0$ — корней нет. Итого две точки — верно.