Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00044068

Функция $y=|x^{2}+5x+6|-1$ строится в три шага: обычная парабола, затем модуль, затем сдвиг вниз на $1$.

Шаг 1. Парабола $y=x^{2}+5x+6$. Разложим на множители: $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$, нули $x=-3$ и $x=-2$. Вершина посередине между нулями: $x_0=-2{,}5$, $y_0=(-2{,}5+2)(-2{,}5+3)=(-0{,}5)\cdot 0{,}5=-0{,}25$.

Шаг 2. Модуль. Там, где парабола выше оси $Ox$, она не меняется. Кусок между $x=-3$ и $x=-2$ лежит ниже оси — его отражаем вверх. Получается «горб» с вершиной $(-2{,}5;\ 0{,}25)$, а в точках $(-3;\ 0)$ и $(-2;\ 0)$ график касается оси.

Шаг 3. Вычитаем $1$ — весь график опускается на $1$ вниз. Самые низкие точки становятся $(-3;\ -1)$ и $(-2;\ -1)$, вершина горба — $(-2{,}5;\ -0{,}75)$.

Теперь двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и считаем общие точки.

При $m\lt -1$ прямая ниже всего графика — точек нет.

При $m=-1$ прямая проходит через две нижние точки $(-3;\ -1)$ и $(-2;\ -1)$ — две точки.

При $-1\lt m\lt -0{,}75$ прямая пересекает обе внешние ветви и горб дважды — четыре точки.

При $m=-0{,}75$ прямая касается вершины горба и пересекает две внешние ветви — три точки.

При $m\gt -0{,}75$ горб остаётся ниже, и прямая пересекает только две внешние ветви — две точки.

Ровно две общие точки: $m=-1$ и $m\gt -0{,}75$.

Проверим себя на $m=0$: $|x^{2}+5x+6|=1$. Уравнение $x^{2}+5x+6=1$, то есть $x^{2}+5x+5=0$, имеет $D=25-20=5\gt 0$ — два корня. Уравнение $x^{2}+5x+6=-1$, то есть $x^{2}+5x+7=0$, имеет $D=25-28\lt 0$ — корней нет. Итого две точки — верно.