Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038791

Шаг 1. Раскрываем модуль. Подмодульное выражение $x+6$ обращается в ноль при $x=-6$ — этой точкой делим ось.

При $x\geq -6$: $| x+6 |=x+6$, поэтому $$y=x^{2}+11x-4(x+6)+30=x^{2}+11x-4x-24+30=x^{2}+7x+6.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{7}{2}=-3,5$, $y_0=(-3,5)^{2}+7\cdot(-3,5)+6=12,25-24,5+6=-6,25$. Точка $(-3,5;-6,25)$ лежит в области $x\geq -6$. Нули: $x^{2}+7x+6=0$ даёт $x=-1$ и $x=-6$ (сумма $-7$, произведение $6$).

При $x<-6$: $| x+6 |=-(x+6)$, поэтому $$y=x^{2}+11x+4(x+6)+30=x^{2}+11x+4x+24+30=x^{2}+15x+54.$$ Тоже ветви вверх. Вершина: $x_0=-7,5$, $y_0=(-7,5)^{2}+15\cdot(-7,5)+54=56,25-112,5+54=-2,25$. Точка $(-7,5;-2,25)$ лежит в области $x<-6$. Нули: дискриминант $225-216=9$, корни $x=\dfrac{-15\pm 3}{2}$, то есть $x=-6$ и $x=-9$; в этой области остаётся $x=-9$.

Шаг 2. Стык кусков. При $x=-6$ обе формулы дают ноль: $36-42+6=0$ и $36-90+54=0$. Значит график непрерывен и проходит через точку $(-6;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(-7,5;-2,25)$, поднимается к стыку $(-6;0)$, затем опускается до дна $(-3,5;-6,25)$ и снова уходит вверх. Двугорбая кривая: ямы на высотах $-2,25$ и $-6,25$, между ними локальный максимум $(-6;0)$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-6,25$: $0$ точек;
• $m=-6,25$: $1$ точка (дно глубокой ямы);
• $-6,25</li><li>$m=-2,25$:$2$точки на правой параболе плюс дно левой, более мелкой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-2,25
• $m=0$: стык $(-6;0)$, плюс $x=-1$ справа и $x=-9$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-2,25$.