Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038790

Шаг 1. Раскрываем модуль. Выражение $x-3$ меняет знак при $x=3$, поэтому ось делим этой точкой.

При $x\geq 3$: $| x-3 |=x-3$, поэтому $$y=x^{2}-8x-4(x-3)+15=x^{2}-8x-4x+12+15=x^{2}-12x+27.$$ Парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=\dfrac{12}{2}=6$, $y_0=36-72+27=-9$. Точка $(6;-9)$ лежит в области $x\geq 3$. Нули: $x^{2}-12x+27=0$, дискриминант $144-108=36$, корни $x=\dfrac{12\pm 6}{2}$, то есть $x=3$ и $x=9$.

При $x<3$: $| x-3 |=3-x$, поэтому $$y=x^{2}-8x+4(x-3)+15=x^{2}-8x+4x-12+15=x^{2}-4x+3.$$ Тоже ветви вверх. Вершина: $x_0=2$, $y_0=4-8+3=-1$. Точка $(2;-1)$ лежит в области $x<3$. Нули: $x^{2}-4x+3=0$ даёт $x=1$ и $x=3$; в этой области остаётся $x=1$.

Шаг 2. Стык кусков. При $x=3$ обе формулы дают ноль: $9-36+27=0$ и $9-12+3=0$. Значит график непрерывен и проходит через точку $(3;0)$.

Шаг 3. Форма графика. Слева линия спускается из бесконечности до дна $(2;-1)$, поднимается к стыку $(3;0)$, затем падает до дна $(6;-9)$ и снова уходит вверх. Получается двугорбая кривая: ямы на высотах $-1$ и $-9$, между ними локальный максимум $(3;0)$.

Шаг 4. Считаем общие точки с прямой $y=m$.

• $m<-9$: $0$ точек;
• $m=-9$: $1$ точка (дно глубокой правой ямы);
• $-9</li><li>$m=-1$:$2$точки на правой параболе плюс дно левой ямы — <b>$3$точки</b>;</li><li>$-1
• $m=0$: стык $(3;0)$, плюс $x=9$ справа и $x=1$ слева — $3$ точки;
• $m&gt;0$: $1+1=2$ точки.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-1$.