Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00045890

Модуль мешает сразу увидеть график, поэтому раскроем его. Выражение под модулем $4x+1$ обращается в ноль при $x=-\dfrac{1}{4}$. Справа от этой точки модуль равен самому выражению, слева — выражению с противоположным знаком.

При $x\geqslant -\dfrac{1}{4}$: $|4x+1|=4x+1$, и $y=-x^{2}+4x+1$. Выделим квадрат двучлена: $-x^{2}+4x+1=-(x^{2}-4x+4)+4+1=-(x-2)^{2}+5$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(2;\ 5)$; вершина $x=2$ лежит в своём промежутке.

При $x\lt -\dfrac{1}{4}$: $|4x+1|=-4x-1$, и $y=-x^{2}-4x-1=-(x^{2}+4x+4)+4-1=-(x+2)^{2}+3$. Парабола ветвями вниз с вершиной $(-2;\ 3)$; вершина $x=-2$ тоже в своём промежутке.

Точка стыка: при $x=-\dfrac{1}{4}$ модуль равен нулю, и $y=0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{2}=-\dfrac{1}{16}$. Обе формулы дают в этой точке одно и то же, так что график непрерывен. Получается фигура из двух «горбов»: левый высотой $3$, правый высотой $5$, а между ними — излом в точке $\left(-\dfrac{1}{4};\ -\dfrac{1}{16}\right)$. По краям обе ветви уходят вниз.

Двигаем горизонталь $y=m$ сверху вниз и считаем точки:

$m\gt 5$: точек нет.

$m=5$: $1$ точка — вершина правого горба.

$3\lt m\lt 5$: $2$ точки, обе на правом горбе.

$m=3$: $2$ точки на правом горбе и $1$ — вершина левого; всего $3$.

$-\dfrac{1}{16}\lt m\lt 3$: по $2$ точки на каждом горбе, всего $4$.

$m=-\dfrac{1}{16}$: точка излома и ещё по одной точке на внешних склонах; всего $3$.

$m\lt -\dfrac{1}{16}$: по одной точке на внешних склонах, всего $2$.

Ровно три общие точки получаются при $m=3$ и при $m=-\dfrac{1}{16}$.

Проверим себя на уровне $m=0$: должно быть четыре точки. Справа: $-x^{2}+4x+1=0$, $x=2\pm\sqrt{5}$; оба корня, примерно $4{,}24$ и $-0{,}24$, не меньше $-\dfrac{1}{4}$. Слева: $-x^{2}-4x-1=0$, $x=-2\pm\sqrt{3}$; оба корня, примерно $-0{,}27$ и $-3{,}73$, меньше $-\dfrac{1}{4}$. Четыре точки — сходится.