Задание 21 ОГЭ по математике №00045881

Теплоход дважды проходит $462$ км: против течения и обратно, по течению. Против течения он движется медленнее, поэтому этот путь занимает больше времени — на $16$ ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $v$ км/ч. Тогда против течения он идёт со скоростью $v-3$ км/ч, а по течению — со скоростью $v+3$ км/ч; при этом $v\gt 3$.

Времена: против течения $\dfrac{462}{v-3}$ ч, по течению $\dfrac{462}{v+3}$ ч. Разница равна $16$:

$$\dfrac{462}{v-3}-\dfrac{462}{v+3}=16.$$

Умножим обе части на $(v-3)(v+3)$ — при $v\gt 3$ это положительное число:

$$462(v+3)-462(v-3)=16(v-3)(v+3).$$

Слева раскроем скобки, следя за минусом перед второй: $462v+1386-462v+1386=2772$. Справа — разность квадратов: $(v-3)(v+3)=v^{2}-9$. Получаем

$$2772=16(v^{2}-9).$$

Разделим обе части на $16$: $v^{2}-9=\dfrac{2772}{16}=173{,}25$, откуда $v^{2}=173{,}25+9=182{,}25$.

Подберём корень: $13{,}5^{2}=13{,}5\cdot 13{,}5=182{,}25$. Значит, $v=13{,}5$; отрицательный корень $-13{,}5$ скоростью быть не может, а условие $v\gt 3$ выполнено.

Проверим себя. Против течения $13{,}5-3=10{,}5$ км/ч, время $462:10{,}5=44$ ч. По течению $13{,}5+3=16{,}5$ км/ч, время $462:16{,}5=28$ ч. Разница $44-28=16$ ч — совпадает с условием.