Задание 21 ОГЭ по математике №00045880

Теплоход проходит одно и то же расстояние $525$ км дважды: против течения (туда) и по течению (обратно). Течение мешает в одну сторону и помогает в другую, поэтому времена получаются разными.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $v$ км/ч. Против течения его скорость $v-1$ км/ч, по течению — $v+1$ км/ч. Чтобы теплоход мог плыть против течения, нужно $v\gt 1$.

Время = путь : скорость. Против течения он идёт $\dfrac{525}{v-1}$ ч, по течению — $\dfrac{525}{v+1}$ ч.

Против течения теплоход идёт медленнее, значит, дольше. Обратный путь занял на $8$ ч меньше, поэтому из большего времени вычитаем меньшее:

$$\dfrac{525}{v-1}-\dfrac{525}{v+1}=8.$$

Вынесем $525$ за скобку и вычтем дроби отдельно:

$$\dfrac{1}{v-1}-\dfrac{1}{v+1}=\dfrac{(v+1)-(v-1)}{(v-1)(v+1)}=\dfrac{2}{v^{2}-1}.$$

Уравнение превращается в

$$\dfrac{525\cdot 2}{v^{2}-1}=8,\qquad \dfrac{1050}{v^{2}-1}=8.$$

Отсюда $v^{2}-1=\dfrac{1050}{8}=131{,}25$, и $v^{2}=131{,}25+1=132{,}25$.

Найдём положительное число с таким квадратом: $11{,}5^{2}=11{,}5\cdot 11{,}5=132{,}25$. Значит, $v=11{,}5$; второй корень $-11{,}5$ отрицателен и не подходит, а условие $v\gt 1$ выполнено.

Проверим себя. Против течения скорость $11{,}5-1=10{,}5$ км/ч, время $525:10{,}5=50$ ч. По течению $11{,}5+1=12{,}5$ км/ч, время $525:12{,}5=42$ ч. Разница $50-42=8$ ч — как в условии.