Задание 21 ОГЭ по математике №00038642

Плот не имеет собственного хода: его несёт река. Значит, скорость плота равна скорости течения — $5$ км/ч. Плот в этой задаче играет роль часов.

Время движения плота. Он проплыл $15$ км со скоростью $5$ км/ч, то есть был в пути $15:5=3$ часа.

Время движения лодки. Лодка отправилась на час позже плота и вернулась в А ровно к тому моменту, когда плот проплыл свои $15$ км. Значит, лодка была в пути $3-1=2$ часа.

Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. По течению она идёт со скоростью $v+5$, против течения — $v-5$, и в каждую сторону проходит по $24$ км:

$\dfrac{24}{v+5}+\dfrac{24}{v-5}=2$.

Умножаем обе части на $(v+5)(v-5)=v^2-25$:

$24(v-5)+24(v+5)=2(v^2-25)$;

$24v-120+24v+120=2v^2-50$;

$48v=2v^2-50$;

$2v^2-48v-50=0$, делим на $2$:

$v^2-24v-25=0$.

По теореме Виета корни $25$ и $-1$. Отрицательный отбрасываем, значит $v=25$ км/ч.

Проверка. По течению: $24:(25+5)=24:30=0{,}8$ ч. Против течения: $24:(25-5)=24:20=1{,}2$ ч. Вместе $2$ часа — ровно столько лодка и была в пути.