Задание 21 ОГЭ по математике №00044058

Лодка идёт по реке, поэтому её скорость зависит от течения. Против течения вода тормозит лодку, а по течению — подгоняет.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде $x$ км/ч. Против течения её скорость $x-3$ км/ч, по течению $x+3$ км/ч. Чтобы лодка вообще могла идти против течения, нужно $x\gt 3$.

Туда лодка шла против течения, значит, обратно, в пункт отправления, — по течению. Каждый из двух путей равен $105$ км.

Время = путь : скорость. Против течения лодка шла $\dfrac{105}{x-3}$ ч, по течению — $\dfrac{105}{x+3}$ ч. На обратный путь ушло на $2$ ч меньше:

$$\frac{105}{x-3}-\frac{105}{x+3}=2.$$

Умножим обе части на $(x-3)(x+3)=x^{2}-9$; при $x\gt 3$ это положительное число:

$$105(x+3)-105(x-3)=2(x^{2}-9).$$

Слева $105x+315-105x+315=630$, справа $2x^{2}-18$. Получаем $2x^{2}-18=630$, откуда $2x^{2}=648$ и $x^{2}=324$.

Значит, $x=18$ или $x=-18$. Отрицательный корень не подходит (нужно $x\gt 3$), поэтому $x=18$ км/ч.

Проверим себя: против течения скорость $18-3=15$ км/ч, время $105:15=7$ ч; по течению $18+3=21$ км/ч, время $105:21=5$ ч. Разница $7-5=2$ ч — как в условии.