Задание 21 ОГЭ по математике №00038641

У плота нет двигателя — его несёт река, поэтому скорость плота равна скорости течения, то есть $5$ км/ч. Именно плот и отмеряет здесь время.

Время движения плота. Он проплыл $50$ км со скоростью $5$ км/ч, значит был в пути $50:5=10$ часов.

Время движения лодки. Лодка вышла на час позже, а вернулась в А ровно к тому моменту, когда плот проплыл свои $50$ км. Значит, лодка была в пути $10-1=9$ часов.

Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. По течению она идёт со скоростью $v+5$, против течения — со скоростью $v-5$, и в каждую сторону проходит по $108$ км:

$\dfrac{108}{v+5}+\dfrac{108}{v-5}=9$.

Умножаем обе части на $(v+5)(v-5)=v^2-25$:

$108(v-5)+108(v+5)=9(v^2-25)$;

$108v-540+108v+540=9v^2-225$;

$216v=9v^2-225$;

$9v^2-216v-225=0$, делим на $9$:

$v^2-24v-25=0$.

По теореме Виета корни $25$ и $-1$ (сумма $24$, произведение $-25$). Отрицательный отбрасываем.

Итак, $v=25$ км/ч.

Проверка. По течению: $108:(25+5)=108:30=3{,}6$ ч. Против течения: $108:(25-5)=108:20=5{,}4$ ч. Вместе $9$ часов — ровно столько лодка и была в пути.