Задание 21 ОГЭ по математике №00038635

Собственная скорость — это скорость баржи в стоячей воде. Обозначим её $x$ км/ч. Река либо помогает, либо мешает:

• по течению баржа идёт со скоростью $x+5$ км/ч и проходит $56$ км;
• против течения — со скоростью $x-5$ км/ч и проходит $54$ км.

Времена по отдельности неизвестны, дана только их сумма — $5$ часов. Значит, и уравнение будет на сумму времён (время $=$ путь $:$ скорость):

$\dfrac{56}{x+5}+\dfrac{54}{x-5}=5$.

Умножаем обе части на $(x+5)(x-5)=x^2-25$:

$56(x-5)+54(x+5)=5(x^2-25)$;

$56x-280+54x+270=5x^2-125$;

$110x-10=5x^2-125$;

$5x^2-110x-115=0$, делим на $5$:

$x^2-22x-23=0$.

По теореме Виета корни $23$ и $-1$ (сумма $22$, произведение $-23$). Отрицательный отбрасываем.

Итак, $x=23$ км/ч, и это осмысленно: $23>5$, значит против течения баржа действительно движется вперёд.

Проверка. По течению: $56:(23+5)=56:28=2$ ч. Против течения: $54:(23-5)=54:18=3$ ч. Всего $5$ часов — как в условии.