Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00045877

Велосипедисты стартовали вместе и финишировали вместе — значит, каждый провёл в пути одно и то же время. Это равенство времён и станет уравнением. Длину пути обозначим буквой: она нужна только как вспомогательная величина.

Пусть скорость первого $v$ км/ч, $v\gt 0$, а каждая половина пути равна $S$ км (весь путь $2S$ км). Время = путь : скорость.

Разобьём путь первого тоже на две половины. На каждую он тратит $\dfrac{S}{v}$ ч, а на весь путь — $\dfrac{2S}{v}$ ч.

Второй на первой половине ехал со скоростью $v+2{,}5$ км/ч и потратил $\dfrac{S}{v+2{,}5}$ ч, на второй — со скоростью $18$ км/ч и потратил $\dfrac{S}{18}$ ч.

Приравниваем времена:

$$\dfrac{2S}{v}=\dfrac{S}{v+2{,}5}+\dfrac{S}{18}.$$

Делим обе части на $S$ (путь не нулевой):

$$\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{v+2{,}5}+\dfrac{1}{18}.$$

Общий знаменатель — $18v(v+2{,}5)$. Умножим на него каждое слагаемое:

$$36(v+2{,}5)=18v+v(v+2{,}5).$$

Слева $36v+90$. Справа $18v+v^{2}+2{,}5v=v^{2}+20{,}5v$. Переносим всё вправо:

$$v^{2}+20{,}5v-36v-90=0,\qquad v^{2}-15{,}5v-90=0.$$

Умножим на $2$, чтобы коэффициенты стали целыми:

$$2v^{2}-31v-180=0.$$

Дискриминант: $D=(-31)^{2}-4\cdot 2\cdot(-180)=961+1440=2401=49^{2}$.

Корни: $v=\dfrac{31+49}{4}=\dfrac{80}{4}=20$ и $v=\dfrac{31-49}{4}=\dfrac{-18}{4}=-4{,}5$. Отрицательная скорость не имеет смысла, остаётся $20$ км/ч.

Проверим себя. Пусть половина пути $45$ км. Первый едет $90:20=4{,}5$ ч. Второй первую половину проезжает со скоростью $20+2{,}5=22{,}5$ км/ч за $45:22{,}5=2$ ч, вторую — со скоростью $18$ км/ч за $45:18=2{,}5$ ч, всего $2+2{,}5=4{,}5$ ч. Времена равны.