Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00045876

Длина пути не дана, но она и не понадобится. Обозначим весь путь от А до Б через $2S$ км — тогда каждая половина равна $S$ км. Скорость первого велосипедиста обозначим $v$ км/ч, $v\gt 0$.

Время находим по правилу «время = путь : скорость».

Первый проехал весь путь $2S$ со скоростью $v$, его время $\dfrac{2S}{v}$ ч.

Второй первую половину ехал со скоростью на $4{,}5$ км/ч больше, то есть $v+4{,}5$, и потратил $\dfrac{S}{v+4{,}5}$ ч. Вторую половину он ехал со скоростью $15$ км/ч и потратил $\dfrac{S}{15}$ ч.

Выехали одновременно и приехали одновременно — значит, в пути они были одинаковое время:

$$\dfrac{2S}{v}=\dfrac{S}{v+4{,}5}+\dfrac{S}{15}.$$

Путь $S$ не равен нулю, разделим на него обе части:

$$\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{v+4{,}5}+\dfrac{1}{15}.$$

Умножим обе части на общий знаменатель $15v(v+4{,}5)$ — он положителен, так как $v\gt 0$:

$$2\cdot 15(v+4{,}5)=15v+v(v+4{,}5).$$

Раскроем скобки: слева $30v+135$, справа $15v+v^{2}+4{,}5v=v^{2}+19{,}5v$. Перенесём всё в правую часть:

$$v^{2}+19{,}5v-30v-135=0,\qquad v^{2}-10{,}5v-135=0.$$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим уравнение на $2$:

$$2v^{2}-21v-270=0.$$

Дискриминант: $D=(-21)^{2}-4\cdot 2\cdot(-270)=441+2160=2601=51^{2}$.

Корни: $v=\dfrac{21+51}{4}=\dfrac{72}{4}=18$ и $v=\dfrac{21-51}{4}=\dfrac{-30}{4}=-7{,}5$. Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость первого велосипедиста $18$ км/ч.

Проверим себя на конкретном пути. Пусть половина пути $S=45$ км, весь путь $90$ км. Первый едет $90:18=5$ ч. Второй первую половину едет со скоростью $18+4{,}5=22{,}5$ км/ч, это $45:22{,}5=2$ ч, а вторую — $45:15=3$ ч, всего $2+3=5$ ч. Времена равны — всё сходится.