Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044064

Три велосипедиста едут из одного посёлка в одну сторону, но стартуют в разное время. Будем отсчитывать время $t$ (в часах) от старта первого и следить, на каком расстоянии от посёлка находится каждый.

Расстояние = скорость · время в пути. Первый в пути $t$ ч — он на расстоянии $24t$ км. Второй выехал на час позже, он в пути $t-1$ ч — расстояние $21(t-1)$ км. Третий выехал ещё через час, он в пути $t-2$ ч — расстояние $x(t-2)$ км, где $x$ — его скорость.

«Догнать» значит оказаться на том же расстоянии от посёлка. Пусть третий догнал второго в момент $T$ (понятно, что $T\gt 2$):

$$x(T-2)=21(T-1).$$

Первого он догнал через $9$ ч после этого, то есть в момент $T+9$. Третий тогда в пути $T+9-2=T+7$ ч:

$$x(T+7)=24(T+9).$$

Из первого уравнения $x=\dfrac{21(T-1)}{T-2}$. Подставим во второе и умножим на $T-2$:

$$21(T-1)(T+7)=24(T+9)(T-2).$$

Слева $21(T^{2}+6T-7)=21T^{2}+126T-147$. Справа $24(T^{2}+7T-18)=24T^{2}+168T-432$.

Переносим всё вправо: $3T^{2}+42T-285=0$, делим на $3$: $T^{2}+14T-95=0$.

Дискриминант: $D=14^{2}+4\cdot 95=196+380=576=24^{2}$. Корни: $T_1=\dfrac{-14+24}{2}=5$, $T_2=\dfrac{-14-24}{2}=-19$. Нужно $T\gt 2$, поэтому $T=5$.

Тогда $x=\dfrac{21\cdot(5-1)}{5-2}=\dfrac{21\cdot 4}{3}=28$ км/ч. Это больше $24$, так что третий действительно может догнать первого.

Проверим себя: в момент $5$ ч третий проехал $28\cdot 3=84$ км, второй — $21\cdot 4=84$ км. В момент $14$ ч третий проехал $28\cdot 12=336$ км, первый — $24\cdot 14=336$ км. Обе встречи сходятся.