Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044063

Три велосипедиста выезжают из одного посёлка в одну сторону, но в разное время. Удобно начать отсчёт с момента, когда выехал третий, и посмотреть, насколько далеко к этому моменту уехали остальные.

Первый к этому моменту в пути уже $2$ ч и уехал на $12\cdot 2=24$ км. Второй в пути $1$ ч и уехал на $10\cdot 1=10$ км.

Пусть скорость третьего $x$ км/ч. Догоняя, он сокращает разрыв со скоростью сближения — на сколько он быстрее того, кто впереди. Чтобы догнать обоих, нужно $x\gt 12$.

Время до догона = разрыв : скорость сближения. Второго третий догонит через $\dfrac{10}{x-10}$ ч, первого — через $\dfrac{24}{x-12}$ ч после своего старта. Первого он догнал на $2$ ч позже:

$$\frac{24}{x-12}-\frac{10}{x-10}=2.$$

Умножим обе части на $(x-12)(x-10)$ — при $x\gt 12$ это положительное число:

$$24(x-10)-10(x-12)=2(x-12)(x-10).$$

Слева $24x-240-10x+120=14x-120$. Справа $2(x^{2}-22x+120)=2x^{2}-44x+240$.

Получаем $2x^{2}-44x+240=14x-120$, то есть $2x^{2}-58x+360=0$. Делим на $2$: $x^{2}-29x+180=0$.

Дискриминант: $D=29^{2}-4\cdot 180=841-720=121=11^{2}$. Корни: $x_1=\dfrac{29+11}{2}=20$, $x_2=\dfrac{29-11}{2}=9$.

Корень $9$ не подходит: он меньше $12$, и с такой скоростью третий не догнал бы даже второго. Значит, $x=20$ км/ч.

Проверим себя: второго третий догоняет через $\dfrac{10}{20-10}=1$ ч, первого — через $\dfrac{24}{20-12}=3$ ч. Разница $3-1=2$ ч — как в условии.