Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00045875

Посмотрим на показатели степеней: у скобки $(x-3)$ они равны $4$ и $2$, и четыре ровно вдвое больше двух. Значит, $(x-3)^4=\big((x-3)^2\big)^2$, и уравнение — квадратное относительно выражения $(x-3)^2$.

Пусть $t=(x-3)^2$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому $t\ge 0$. Тройка внутри скобки ушла в замену, а коэффициент $-3$ перед $(x-3)^2$ остаётся коэффициентом при $t$:

$$t^2-3t-108=0.$$

Дискриминант: $D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441$, $\sqrt D=21$ (ведь $21\cdot21=441$).

$$t_1=\dfrac{3-21}{2}=-9,\qquad t_2=\dfrac{3+21}{2}=12.$$

Значение $t=-9$ отбрасываем: квадрат $(x-3)^2$ отрицательным быть не может. Остаётся $t=12$.

Возвращаемся к $x$. Буква $t$ обозначала квадрат скобки, поэтому $(x-3)^2=12$, и сама скобка равна $\sqrt{12}$ или $-\sqrt{12}$. Упростим корень: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$.

$$x-3=2\sqrt3\quad\text{или}\quad x-3=-2\sqrt3.$$

Отсюда $x=3+2\sqrt3$ или $x=3-2\sqrt3$.

Проверим себя. Для обоих корней $(x-3)^2=(\pm2\sqrt3)^2=4\cdot3=12$. Подставим в исходное уравнение: $12^2-3\cdot12-108=144-36-108=0$ — верно. И прикидка: $\sqrt3\approx1{,}73$, поэтому корни примерно равны $6{,}46$ и $-0{,}46$.