Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00044054

Нужно упростить дробь, в которой стоят степени с буквой $n$ в показателе. План такой: разложить все основания на простые множители, а потом воспользоваться правилами действий со степенями.

Вспомним эти правила. Степень произведения: $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ — в степень возводится каждый множитель. Степень степени: $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ — показатели перемножаются. Деление степеней с одинаковым основанием: $\dfrac{a^{m}}{a^{k}}=a^{m-k}$ — показатели вычитаются.

Числитель. $80=16\cdot 5=2^{4}\cdot 5$, поэтому $80^{n}=(2^{4}\cdot 5)^{n}=2^{4n}\cdot 5^{n}$.

Знаменатель. $4=2^{2}$, поэтому $4^{2n-1}=(2^{2})^{2n-1}=2^{2(2n-1)}=2^{4n-2}$.

Подставим:

$$\frac{80^{n}}{4^{2n-1}\cdot 5^{n-2}}=\frac{2^{4n}\cdot 5^{n}}{2^{4n-2}\cdot 5^{n-2}}.$$

Делим степени с одинаковыми основаниями. Для двойки: $4n-(4n-2)=4n-4n+2=2$, остаётся $2^{2}$. Для пятёрки: $n-(n-2)=n-n+2=2$, остаётся $5^{2}$.

$$2^{2}\cdot 5^{2}=4\cdot 25=100.$$

Проверим себя на конкретном значении, например $n=1$: $\dfrac{80}{4^{1}\cdot 5^{-1}}=\dfrac{80}{4\cdot\frac{1}{5}}=\dfrac{80}{0{,}8}=100$. Совпало.