Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00044055

Нужно упростить дробь со степенями, у которых в показателе стоит $n$. Действуем по плану: раскладываем все основания на простые множители и пользуемся правилами действий со степенями.

Правила: $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ — в степень возводится каждый множитель; $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ — показатели перемножаются; $\dfrac{a^{m}}{a^{k}}=a^{m-k}$ — при делении показатели вычитаются.

Числитель. $48=16\cdot 3=2^{4}\cdot 3$, поэтому $48^{n}=(2^{4}\cdot 3)^{n}=2^{4n}\cdot 3^{n}$.

Знаменатель. $4=2^{2}$, поэтому $4^{2n-1}=(2^{2})^{2n-1}=2^{2(2n-1)}=2^{4n-2}$.

Подставим:

$$\frac{48^{n}}{4^{2n-1}\cdot 3^{n-3}}=\frac{2^{4n}\cdot 3^{n}}{2^{4n-2}\cdot 3^{n-3}}.$$

Делим степени с одинаковыми основаниями. Для двойки: $4n-(4n-2)=2$, остаётся $2^{2}$. Для тройки: $n-(n-3)=n-n+3=3$, остаётся $3^{3}$.

$$2^{2}\cdot 3^{3}=4\cdot 27=108.$$

Проверим себя при $n=1$: $\dfrac{48}{4^{1}\cdot 3^{-2}}=\dfrac{48}{4\cdot\frac{1}{9}}=\dfrac{48\cdot 9}{4}=12\cdot 9=108$. Совпало.