Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038501

Раскрывать четвёртую степень бинома — верный способ увязнуть в вычислениях. Присмотрись: выражение (x − 3) входит в чётных степенях — четвёртой и второй. Это подсказка к замене переменной.

Вводим замену. Пусть t = (x − 3)². Тогда (x − 3)⁴ = ((x − 3)²)² = t². Важное ограничение: t — квадрат, значит t ≥ 0.

Уравнение становится квадратным: t² − 3t − 10 = 0. Дискриминант D = (−3)² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49, √D = 7, корни t = (3 − 7)/2 = −2 и t = (3 + 7)/2 = 5.

Отбираем по смыслу замены. Значение t = −2 невозможно: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 5.

Возвращаемся к x: (x − 3)² = 5. Извлекаем корень с двумя знаками: x − 3 = √5 или x − 3 = −√5. Отсюда x = 3 + √5 и x = 3 − √5.

Численно: √5 ≈ 2,24, значит корни примерно 5,24 и 0,76.

Проверка. Подставим (x − 3)² = 5: (x − 3)⁴ = 5² = 25, тогда 25 − 3·5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 — верно, оба корня подходят.