Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038502

Переменная стоит в знаменателях, значит сначала — ограничение, а потом избавляемся от дробей.

Область допустимых значений. На ноль делить нельзя, поэтому x ≠ 0.

Убираем дроби. Умножим обе части уравнения на x². Это законно: x ≠ 0, значит x² > 0, и уравнение остаётся равносильным. Получаем: (1/x²)·x² + (2/x)·x² − 3x² = 0, то есть 1 + 2x − 3x² = 0.

Приводим к привычному виду. Умножим обе части на −1 и переставим слагаемые: 3x² − 2x − 1 = 0.

Решаем через дискриминант. D = (−2)² − 4·3·(−1) = 4 + 12 = 16, √D = 4. Корни: x = (2 − 4)/(2·3) = −2/6 = −1/3 и x = (2 + 4)/(2·3) = 6/6 = 1.

Сверяем с ОДЗ. Ни один из корней не равен нулю, значит оба годятся.

Проверка. При x = 1: 1/1 + 2/1 − 3 = 1 + 2 − 3 = 0 — верно. При x = −1/3: 1/x² = 1/(1/9) = 9, а 2/x = 2/(−1/3) = −6; итого 9 − 6 − 3 = 0 — верно. Оба корня подходят.

Тот же результат даёт и замена t = 1/x: уравнение превращается в t² + 2t − 3 = 0 с корнями t = 1 и t = −3, откуда x = 1 и x = −1/3.