Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00045874

В уравнении скобка $(x+4)$ стоит в четвёртой и во второй степени. Четвёртая степень — это квадрат от второй: $(x+4)^4=\big((x+4)^2\big)^2$. Значит, если обозначить $(x+4)^2$ одной буквой, уравнение станет обычным квадратным.

Пусть $t=(x+4)^2$. Сразу отметим: $t$ — это квадрат, а квадрат не бывает отрицательным, поэтому $t\ge 0$. Уравнение принимает вид

$$t^2-4t-32=0.$$

Решим его через дискриминант: $D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-32)=16+128=144$, $\sqrt D=12$.

$$t_1=\dfrac{4-12}{2}=-4,\qquad t_2=\dfrac{4+12}{2}=8.$$

Значение $t=-4$ не подходит: квадрат $(x+4)^2$ не может равняться отрицательному числу. Остаётся $t=8$.

Возвращаемся к $x$: $(x+4)^2=8$. Квадрат равен $8$ у двух чисел: у $\sqrt8$ и у $-\sqrt8$. Упростим корень: $\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$. Получаем два уравнения:

$$x+4=2\sqrt2\quad\text{или}\quad x+4=-2\sqrt2.$$

Отсюда $x=-4+2\sqrt2$ или $x=-4-2\sqrt2$.

Проверим себя. Для обоих корней $(x+4)^2=(\pm2\sqrt2)^2=4\cdot2=8$. Подставим $8$ вместо $(x+4)^2$ в исходное уравнение: $8^2-4\cdot8-32=64-32-32=0$ — верно.