Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00045869

Перед нами сумма двух квадратов, которая равна нулю. Ключ к задаче — не раскрывать скобки, а понять, когда такое вообще возможно.

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа — нули. Значит, нужно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

$$\begin{cases}x^{2}-64=0,\\ x^{2}+6x-16=0.\end{cases}$$

Фигурная скобка здесь означает «оба условия сразу».

Первое уравнение: $x^{2}=64$. Квадрат равен $64$ у числа $8$ и у числа $-8$, ведь $(-8)^{2}=64$ тоже. Корни: $x=8$ и $x=-8$.

Второе уравнение: $a=1$, $b=6$, $c=-16$. Дискриминант:

$$D=6^{2}-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100=10^{2}.$$

Корни: $x=\dfrac{-6+10}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ и $x=\dfrac{-6-10}{2}=\dfrac{-16}{2}=-8$.

Проверим их разложением: $(x-2)(x+8)=x^{2}+8x-2x-16=x^{2}+6x-16$ — совпадает с трёхчленом.

Теперь сравним корни двух уравнений: у первого $8$ и $-8$, у второго $2$ и $-8$. Общий только $x=-8$ — он и решает систему.

Проверим себя. При $x=-8$: $x^{2}-64=64-64=0$ и $x^{2}+6x-16=64-48-16=0$, обе скобки нулевые, сумма квадратов равна $0$. При $x=8$ вторая скобка равна $64+48-16=96$, её квадрат положителен — не подходит. При $x=2$ первая скобка равна $4-64=-60$ — тоже не подходит.