Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00045868

Слева сумма двух квадратов, справа ноль. Раскрывать скобки не нужно — получилось бы уравнение четвёртой степени. Вместо этого воспользуемся простым свойством квадрата.

Квадрат любого числа не бывает отрицательным: $a^{2}\geqslant 0$. Если сложить два неотрицательных числа и получить ноль, то каждое из них равно нулю: будь хоть одно положительным, сумма уже была бы больше нуля.

Значит, уравнение равносильно системе — обе скобки равны нулю одновременно:

$$\begin{cases}x^{2}-16=0,\\ x^{2}-5x-36=0.\end{cases}$$

Первое уравнение: $x^{2}=16$. Разложим как разность квадратов: $(x-4)(x+4)=0$, откуда $x=4$ или $x=-4$.

Второе уравнение — квадратное, у него $a=1$, $b=-5$, $c=-36$. Дискриминант:

$$D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot(-36)=25+144=169=13^{2}.$$

Корни: $x=\dfrac{5+13}{2}=\dfrac{18}{2}=9$ и $x=\dfrac{5-13}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4$.

Системе подходят только числа, которые являются корнями обоих уравнений сразу. У первого корни $4$ и $-4$, у второго $9$ и $-4$. Общий корень один: $x=-4$.

Проверим себя. При $x=-4$: $x^{2}-16=16-16=0$ и $x^{2}-5x-36=16+20-36=0$, сумма квадратов $0+0=0$ — верно. А при $x=4$ первая скобка равна нулю, но вторая равна $16-20-36=-40$, её квадрат $1600$, и сумма нулём не становится — поэтому $4$ не подходит.