Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00045873

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль — значит, нас интересует только знак произведения. Надёжнее всего разложить всё на множители первой степени и расставить знаки на числовой прямой (метод интервалов).

Разложим первый трёхчлен $x^2-5x-14$. Дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)=25+56=81$, $\sqrt D=9$. Корни: $x_1=\dfrac{5-9}{2}=-2$, $x_2=\dfrac{5+9}{2}=7$. Значит, $x^2-5x-14=(x+2)(x-7)$.

Второй трёхчлен $x^2+6x+8$. Дискриминант: $D=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4$, $\sqrt D=2$. Корни: $x_1=\dfrac{-6-2}{2}=-4$, $x_2=\dfrac{-6+2}{2}=-2$. Значит, $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$.

Скобка $(x+2)$ встретилась в обоих разложениях. Соберём её в квадрат:

$$(x-7)(x+4)(x+2)^2\ge 0.$$

Отметим на числовой прямой точки $-4$, $-2$ и $7$. Все они закрашены: в них произведение равно нулю, а неравенство нестрогое, и $0\ge 0$ — верно.

Расставим знаки. Начнём справа: при $x=10$ получаем $(10-7)(10+4)(10+2)^2=3\cdot14\cdot144\gt 0$ — плюс. При переходе через $7$ и через $-4$ знак меняется: эти множители стоят в первой степени. А при переходе через $-2$ знак не меняется: множитель $(x+2)^2$ — квадрат, он положителен и слева, и справа от $-2$.

Получаем: на $(7;+\infty)$ плюс, на $(-2;7)$ минус, на $(-4;-2)$ тоже минус, на $(-\infty;-4)$ плюс.

Нам нужны промежутки со знаком плюс и все точки, где произведение равно нулю. Это лучи $(-\infty;-4]$ и $[7;+\infty)$ и ещё отдельная точка $x=-2$: вокруг неё стоит минус, но в ней самой произведение равно нулю, поэтому она тоже решение.

Проверим себя. При $x=0$: $x^2-5x-14=-14$, $x^2+6x+8=8$, произведение $-112\lt 0$ — ноль не решение, и в ответе его нет. При $x=-2$: $4+10-14=0$, произведение равно $0$ — подходит. При $x=-5$: $25+25-14=36$ и $25-30+8=3$, произведение $108\gt 0$ — подходит, и $-5$ действительно лежит на луче $(-\infty;-4]$.

Итак, решения неравенства — лучи $(-\infty;-4]$ и $[7;+\infty)$ и отдельная точка $x=-2$.