Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00044053

Слева стоит выражение $36-12x+x^{2}$. Если переписать его, начиная со старшей степени, получится $x^{2}-12x+36$ — а это квадрат разности: $x^{2}-2\cdot 6\cdot x+6^{2}=(x-6)^{2}$.

Значит, неравенство можно записать так:

$$(x-6)^{2}\lt\sqrt{10}\,(x-6).$$

Делить обе части на $x-6$ нельзя: мы не знаем, какого знака это выражение, а при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Поэтому перенесём всё влево и вынесем общий множитель $(x-6)$ за скобку:

$$(x-6)^{2}-\sqrt{10}\,(x-6)\lt 0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-6)\bigl(x-6-\sqrt{10}\bigr)\lt 0.$$

Произведение двух множителей отрицательно, когда множители разных знаков. Найдём, где каждый из них равен нулю: $x=6$ и $x=6+\sqrt{10}$. Второе число больше первого, потому что $\sqrt{10}\gt 0$.

Применим метод интервалов. Отметим на прямой обе точки выколотыми (неравенство строгое). Правее $6+\sqrt{10}$ оба множителя положительны — произведение со знаком «плюс». Между точками первый множитель положителен, а второй отрицателен — «минус». Левее $6$ оба множителя отрицательны — тоже «плюс».

Нам нужен знак «минус», то есть промежуток между точками: $6\lt x\lt 6+\sqrt{10}$.

Проверим себя на числе $x=7$ — оно лежит внутри промежутка, ведь $\sqrt{10}\gt 3$. Слева $36-84+49=1$, справа $\sqrt{10}\cdot 1\approx 3{,}16$, и $1\lt 3{,}16$ — верно. А при $x=6$ обе части равны нулю, строгое неравенство не выполняется — поэтому $6$ в ответ не входит.