Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038471

Хочется поделить обе части на (x − 11) и получить простое неравенство. Так делать нельзя: знак этой скобки неизвестен, а при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Правильный путь — перенос в одну часть и вынесение общего множителя.

Переносим: (x − 11)² − √5·(x − 11) < 0.

Выносим (x − 11): (x − 11)·[(x − 11) − √5] < 0, то есть (x − 11)(x − 11 − √5) < 0.

Слева произведение двух линейных множителей — парабола ветвями вверх. Корни: x − 11 = 0 → x = 11 и x − 11 − √5 = 0 → x = 11 + √5. Неравенство строгое, значит обе точки выколоты.

Метод интервалов. Парабола с ветвями вверх лежит ниже оси строго между корнями: 11 < x < 11 + √5.

Численно: √5 ≈ 2,24, то есть промежуток примерно от 11 до 13,24.

Проверка по точкам. При x = 12: слева (12 − 11)² = 1, справа √5·1 ≈ 2,24; 1 < 2,24 — верно, подходит. При x = 14: слева 9, справа √5·3 ≈ 6,71; 9 < 6,71 — неверно, не подходит. При x = 10: слева 1, справа √5·(−1) ≈ −2,24; 1 < −2,24 — неверно. И это ожидаемо: слева квадрат, он неотрицателен, а при x < 11 правая часть отрицательна.