Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00045872

Слева стоит произведение двух квадратных трёхчленов, а справа — ноль. Значит, само значение произведения нам не важно, важен только его знак. План такой: разложить каждый трёхчлен на множители и разобраться, когда произведение отрицательно или равно нулю.

Первый трёхчлен $x^2+5x+6$. Его корни — числа, у которых сумма равна $-5$, а произведение равно $6$ (теорема Виета). Это $-2$ и $-3$: проверяем, $(-2)+(-3)=-5$ и $(-2)\cdot(-3)=6$. Значит,

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Второй трёхчлен $x^2-2x-15$. Найдём корни через дискриминант: $D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64$, $\sqrt D=8$, $x_1=\dfrac{2-8}{2}=-3$, $x_2=\dfrac{2+8}{2}=5$. Значит,

$$x^2-2x-15=(x+3)(x-5).$$

Скобка $(x+3)$ появилась в обоих разложениях. Соберём её в квадрат, и неравенство примет вид

$$(x+2)(x+3)^2(x-5)\le 0.$$

Главное наблюдение: множитель $(x+3)^2$ — квадрат, а квадрат никогда не бывает отрицательным. Поэтому разберём два случая.

Случай 1: $(x+3)^2=0$, то есть $x=-3$. Тогда всё произведение равно нулю, а $0\le 0$ — верно. Значит, $x=-3$ — решение. Это отдельная, изолированная точка.

Случай 2: $x\ne -3$. Тогда $(x+3)^2\gt 0$. На положительное число можно разделить обе части неравенства, знак при этом не меняется:

$$(x+2)(x-5)\le 0.$$

Это парабола $y=(x+2)(x-5)$ ветвями вверх с нулями $-2$ и $5$. Ниже оси или на оси она лежит между своими нулями, включая их: $-2\le x\le 5$. Точка $-3$ в этот отрезок не попадает, поэтому её дописываем к ответу отдельно.

Проверим себя. При $x=0$ (внутри отрезка): $x^2+5x+6=6$, $x^2-2x-15=-15$, произведение $6\cdot(-15)=-90\le 0$ — подходит. При $x=-3$: $9-15+6=0$, произведение равно $0$ — подходит. А при $x=-2{,}5$ (между $-3$ и $-2$): $6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25$ и $6{,}25+5-15=-3{,}75$, произведение двух отрицательных чисел положительно — не подходит, как и должно быть.

Итак, решения неравенства — отрезок $[-2;5]$ и отдельная точка $x=-3$.