Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038470

Первое желание — «сократить» обе части на (x − 1). Так делать нельзя: знак этой скобки неизвестен, а при делении на отрицательное число неравенство надо переворачивать. Правильный ход — перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель.

Переносим: (x − 1)² − √2·(x − 1) < 0.

Выносим (x − 1): (x − 1)·[(x − 1) − √2] < 0, то есть (x − 1)(x − 1 − √2) < 0.

Слева произведение двух линейных множителей — это парабола ветвями вверх. Её корни: x − 1 = 0 → x = 1 и x − 1 − √2 = 0 → x = 1 + √2. Неравенство строгое, поэтому обе точки выколоты.

Метод интервалов. Парабола с ветвями вверх отрицательна строго между корнями, значит 1 < x < 1 + √2.

Численно: √2 ≈ 1,41, то есть промежуток примерно от 1 до 2,41.

Проверка по точкам. При x = 2: слева (2 − 1)² = 1, справа √2·1 ≈ 1,41; 1 < 1,41 — верно, подходит. При x = 3: слева 4, справа √2·2 ≈ 2,83; 4 < 2,83 — неверно, не подходит. При x = 0: слева 1, справа √2·(−1) ≈ −1,41; 1 < −1,41 — неверно, не подходит. И это логично: слева стоит квадрат (число неотрицательное), а при x < 1 правая часть отрицательна — такие x заведомо не годятся.