Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00045867

Здесь дробь сравнивается не с нулём, а с $x$. Метод интервалов работает, когда справа стоит ноль, поэтому перенесём $x$ влево и соберём одну дробь.

Сначала область определения: знаменатель $x+4$ не может равняться нулю, значит, $x\ne -4$.

Делить обе части на $x$ или умножать на $x+4$ нельзя: эти выражения бывают отрицательными, а тогда знак неравенства переворачивается. Переносим:

$$\dfrac{x^{2}}{x+4}-x\geqslant 0.$$

Приводим к общему знаменателю $x+4$: для этого $x$ умножаем на $x+4$, и числитель равен $x^{2}-x(x+4)$.

Раскрываем скобку со сменой знаков: $x^{2}-x^{2}-4x=-4x$. Получаем

$$\dfrac{-4x}{x+4}\geqslant 0.$$

Разделим обе части на $-4$. Число отрицательное, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$$\dfrac{x}{x+4}\leqslant 0.$$

Особые точки две. При $x=0$ числитель равен нулю; неравенство нестрогое, поэтому точка входит. При $x=-4$ знаменатель равен нулю — точка выколота.

Узнаем знак дроби $\dfrac{x}{x+4}$ на трёх промежутках подстановкой:

при $x=-5$: $\dfrac{-5}{-1}=5\gt 0$ — плюс;

при $x=-1$: $\dfrac{-1}{3}\lt 0$ — минус;

при $x=1$: $\dfrac{1}{5}\gt 0$ — плюс.

Нужны значения, где дробь не больше нуля: промежуток между $-4$ и $0$, причём $0$ входит, а $-4$ нет. Получаем $-4\lt x\leqslant 0$, то есть $x\in(-4;\ 0]$.

Проверим себя на исходном неравенстве. При $x=-2$: $\dfrac{4}{2}=2$, и $2\geqslant -2$ — верно. При $x=2$: $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, а $\dfrac{2}{3}\lt 2$ — неравенство не выполняется, и $x=2$ в ответ действительно не входит.