Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038490

Хочется поделить обе части на (x − 9) и получить простое неравенство. Так делать нельзя: знак этой скобки неизвестен, а при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Правильный ход — перенос в одну часть и вынесение общего множителя.

Переносим: (x − 9)² − √2·(x − 9) < 0.

Выносим (x − 9): (x − 9)·[(x − 9) − √2] < 0, то есть (x − 9)(x − 9 − √2) < 0.

Слева произведение двух линейных множителей — это парабола ветвями вверх. Её корни: x − 9 = 0 → x = 9 и x − 9 − √2 = 0 → x = 9 + √2. Неравенство строгое, поэтому обе точки выколоты.

Метод интервалов. Парабола с ветвями вверх лежит ниже оси строго между корнями: 9 < x < 9 + √2.

Численно: √2 ≈ 1,41, то есть промежуток примерно от 9 до 10,41.

Проверка по точкам. При x = 10: слева (10 − 9)² = 1, справа √2·1 ≈ 1,41; 1 < 1,41 — верно, подходит. При x = 12: слева 9, справа √2·3 ≈ 4,24; 9 < 4,24 — неверно, не подходит. При x = 8: слева 1, справа √2·(−1) ≈ −1,41; 1 < −1,41 — неверно. Это ожидаемо: слева квадрат, число неотрицательное, а при x < 9 правая часть отрицательна.