Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00045866

Слева дробь, справа — просто $x$. Сравнивать дробь с выражением неудобно, а вот сравнивать дробь с нулём мы умеем: для этого есть метод интервалов. Поэтому сначала соберём всё в левой части.

Сразу отметим, чего делать нельзя: умножать обе части на $x-25$. Этот множитель бывает и положительным, и отрицательным, а при умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Заранее мы не знаем, какой случай, поэтому так не поступаем.

Переносим $x$ влево:

$$\dfrac{x^{2}}{x-25}-x\leqslant 0.$$

Чтобы вычесть, запишем $x$ дробью с тем же знаменателем: $x=\dfrac{x(x-25)}{x-25}$. Тогда в числителе окажется разность $x^{2}-x(x-25)$.

Раскроем скобку: $x(x-25)=x^{2}-25x$. Перед ней стоит минус, поэтому меняем знак у каждого слагаемого:

$$x^{2}-(x^{2}-25x)=x^{2}-x^{2}+25x=25x.$$

Неравенство стало таким:

$$\dfrac{25x}{x-25}\leqslant 0.$$

Число $25$ положительное, разделим на него обе части — знак неравенства при этом не меняется:

$$\dfrac{x}{x-25}\leqslant 0.$$

Теперь метод интервалов. Отметим на прямой две особые точки. При $x=0$ числитель равен нулю, вся дробь равна нулю, а неравенство нестрогое — точка подходит, её закрашиваем. При $x=25$ знаменатель равен нулю, на ноль делить нельзя — эту точку выкалываем.

Знак дроби на каждом из трёх промежутков узнаем, подставив по одному числу:

при $x=-1$: $\dfrac{-1}{-26}\gt 0$ — плюс;

при $x=1$: $\dfrac{1}{-24}\lt 0$ — минус;

при $x=26$: $\dfrac{26}{1}\gt 0$ — плюс.

Нам нужна дробь, меньшая или равная нулю: это промежуток со знаком «минус» вместе с закрашенной точкой $0$. Получаем $0\leqslant x\lt 25$, то есть $x\in[0;\ 25)$.

Проверим себя на исходном неравенстве. Возьмём $x=5$ из ответа: $\dfrac{25}{5-25}=\dfrac{25}{-20}=-1{,}25$, и $-1{,}25\leqslant 5$ — верно. Возьмём $x=-5$ не из ответа: $\dfrac{25}{-30}\approx -0{,}83$, а это больше, чем $-5$, — неравенство не выполняется, как и должно быть.