Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038465

Соблазн большой — «сократить» обе части на (x − 3). Так делать нельзя: знак этой скобки неизвестен, а при делении на отрицательное число неравенство пришлось бы перевернуть. Правильный ход — перенести всё в одну сторону и разложить на множители.

Переносим: (x − 3)² − √5·(x − 3) < 0.

Выносим общий множитель (x − 3): (x − 3)·[(x − 3) − √5] < 0, то есть (x − 3)(x − 3 − √5) < 0.

Слева — произведение двух линейных множителей, то есть парабола ветвями вверх. Её корни: x − 3 = 0 → x = 3 и x − 3 − √5 = 0 → x = 3 + √5. Оба корня выколоты, ведь неравенство строгое.

Метод интервалов. Парабола с ветвями вверх отрицательна между корнями. Значит 3 < x < 3 + √5.

Численно: √5 ≈ 2,24, то есть промежуток примерно от 3 до 5,24.

Проверка по точкам. При x = 4: слева (4 − 3)² = 1, справа √5·1 ≈ 2,24; 1 < 2,24 — верно, подходит. При x = 6: слева 9, справа √5·3 ≈ 6,71; 9 < 6,71 — неверно, не подходит. При x = 2: слева 1, справа √5·(−1) ≈ −2,24; 1 < −2,24 — неверно, не подходит. Обрати внимание: слева всегда неотрицательное число, а при x < 3 справа число отрицательное — такие x заведомо не годятся.